导语

  

内容提要

  

    《数学分析讲义(2)》是作者陈天权在清华大学数学科学系(1987—2003)及北京大学数学科学学院(2003—2009)给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的。一方面，作者力求以近代数学(集合论，拓扑，测度论，微分流形和微分形式)的语言来介绍数学分析的基本知识，以使同学尽早熟悉近代数学文献中的表述方式，另一方面在篇幅允许的范围内，作者尽可能地介绍数学分析与其他学科(特别是物理学)的联系，以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉。全书分为三册，第一册包括：集合与映射，实数与复数，极限，连续函数类，一元微分学和一元函数的Riemann积分；《数学分析讲义(2)》包括：点集拓扑初步，多元微分学，测度和积分；第三册包括：Fourier分析初步，广义函数，复分析，微分流形，重线性代数，微分形式和流形上的积分学，每章都配有丰富的习题，它除了提供同学训练和熟悉正文中的内容外，也介绍了许多补充知识。
    本书可作为高等院校数学系攻读数学、应用数学、计算数学的本科生数学分析课程的教材或教学参考书，也可作为需要把数学当做重要工具的同学(例如攻读物理的同学)的教学参考书。

    陈天权，1959年毕业于北京大学数学力学系。曾讲授过数学分析，高等代数，实变函数，复变函数，概率论，泛函分析等课程。主要的研究方向是非平衡态统计力学。

第7章 点集拓扑初步
  §7.1 拓扑空间
  §7.2 连续映射
  §7.3 度量空间
  §7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商
  §7.5 完备度量空间
  §7.6 紧空间
  §7.7 Stone—Weierstrass逼近定理
  §7.8 连通空间
  §7.9 习题
  §7.10 补充教材：Urysohn引理
  进一步阅读的参考文献
第8章 多元微分学
  §8.1 微分和导数
  §8.2 中值定理
  §8.3 方向导数和偏导数
  §8.4 高阶偏导数与Taylor公式
  §8.5 反函数定理与隐函数定理
  §8.6 单位分解
  §8.7 一次微分形式与线积分
    8.7.1 一次微分形式与它的回拉
    8.7.2 一次微分形式的线积分
  §8.8 习题
  §8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步
    8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射
    8.9.2 连续重线性映射空间
    8.9.3 映射的微分
    8.9.4 有限增量定理
    8.9.5 映射的偏导数
    8.9.6 高阶导数
    8.9.7 Taylor公式
    8.9.8 变分法初步
    8.9.9 无限维空间的隐函数定理
  §8.10 补充教材--经典力学中的Hamilton原理
    8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理
    8.10.2 Hamilton方程组和Hamilton原理
  进一步阅读的参考文献
第9章 测度
  §9.1 可加集函数
  §9.2 集函数的可数可加性
  §9.3 外测度
  §9.4 构造测度
  §9.5 度量外测度
  §9.6 Lebesgue不可测集的存在性
  §9.7 习题
  进一步阅读的参考文献
第10章 积分
  §10.1 可测函数
  §10.2 积分的定义及其初等性质
  §10.3 积分号与极限号的交换
  §10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较
  §10.5 Fubini-Tonelli定理
  练习
  §10.7 Lebesgue函数空间
    10.7.1  Lp空间的定义
    10.7.2  Lp空间的完备性
    10.7.3 Hanner不等式
    10.7.4  Lp空间的对偶空间
    10.7.5  Radon-Nikodym定理
    10.7.6  Hilbert空间
    10.7.7  关于微积分学基本定理
  练习
  §10.8  二次微分形式的面积分
    10.8.1  一次微分形式的外微分
    10.8.2  二次微分形式和平面的定向
    10.8.3  二次微分形式的回拉和积分
    10.8.4  三维空间的二次微分形式
    10.8.5  平面上的Green公式和曲面上的Stokes公式
    练习
  §10.9  附加习题
  进一步阅读的参考文献
附录  部分练习及附加习题的提示
参考文献
名词索引