导语

  

内容提要

  

    不断有许多只言片语的数学传闻从导师传到学生或者从同事传到同事，但这些常常是模糊的，而在正式文献中去进行讨论叉显得不甚严肃。通常对知道这种“数学传说”的人来说也只是个碰巧的机会而已。但是到了今天，这样一些只言片语也可通过研究博客这种半正式的媒体进行有效和高效率的传播。本书便是由博客产生的。
    2007年，陶哲轩(Terence Tao)创建了一个包含多种话题的数学博客，涵盖了他自己的研究工作和其他新近的数学进展，也包括他的教课讲义、非专业性的难题以及专业文章。第一年的博客已由美国数学会出版。2008年的博文讲义分两册出版。陶哲轩著的《庞加莱的遗产(第Ⅱ部分第二年的数学博客选文)(英文版)(精)/美国数学会经典影印系列》是他的第二年博文的第II部分，主要讲述了几何、拓扑和偏微分方程。本书的主要部分由陶哲轩的关于庞加莱猜想的课程讲义和Perelman近期引起轰动的解答组成。他的课程包含了对黎曼几何和较小范围内的抛物偏微分方程所需要的基本概念和结果的回顾。课程的目的在于详细叙述论证的高水平特征，并且为了更完善处理问题而以丰富的参考资料概述其余的问题，从而选择出论证的特定部分。这些讲义尽可能地做到自足，而较之于技术细节则更重视“大视图”。除了这些讲义外本书还讨论了其他备类论题，包括诸如规范场论、Kakeya针问题，以及Black-Scholes方程。博客读者的一些评论和反馈也被选进这些文章中。本书适合于研究生和数学工作者阅读。
    陶暂轩是2014年数学突破奖得主。他是加州大学洛杉矶分校（UCLA）的James和Carol Collis讲席教授，24岁就晋升为全职教授。2006年他就已经成为了获得Fields奖的最年轻的数学家。他的其他荣誉还包括了美国工业和应用数学学会的George Polya奖《2010)，国家科学基金会的Alan T．Waterman奖(2008)，SASTRA Ramanujan奖(2006)，Clay数学研究所的Clay奖(2003)，美国数学会的Bochner纪念奖(2002)以及Salem奖(2000)。

    陶哲轩，1975年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”，获得国际数学奧林匹克竞赛金牌（这项纪录至今无人打破），2006年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007年当选英国皇家学会会士。曾与本·格林合作解决了2300年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了不俗成果。另著有经典数学教材《陶哲轩实分析》。

Preface
  A remark on notation
  Acknowledgments
Chapter 1  Expository Articles
  1.1  Dvir's proof of the finite field Kakeya conjecture
  1.2  The Black-Scholes equation
  1.3  Hassell's proof of scarring for the Bunimovich stadium
  1.4  What is a gauge?
  1.5  When are eigenvalues stable?
  1.6  Concentration compactness and the profile decomposition
  1.7  The Kakeya conjecture and the Ham Sandwich theorem
  1.8  An airport-inspired puzzle
  1.9  A remark on the Kakeya needle problem
Chapter 2  The Poincare Conjecture
  2.1  Riemannian manifolds and curvature
  2.2  Flows on Riemannian manifolds
  2.3  The Ricci flow approach to the Poincare conjecture
  2.4  The maximum principle, and the pinching phenomenon
  2.5  Finite time extinction of the second homotopy group
  2.6  Finite time extinction of the third homotopy group, I
  2.7  Finite time extinction of the third homotopy group, II
  2.8  Rescaling of Ricci flows and k-non-collapsing
  2.9  Ricci flow as a gradient flow, log-Sobolev inequalities, and Perelman entropy
  2.10  Comparison geometry, the high-dimensional limit, and the Perelman reduced volume
  2.11  Variation of L-geodesics, and monotonicity of the Perelman reduced volume
  2.12  k-non-collapsing via Perelman's reduced volume
  2.13  High curvature regions of Ricci flow and k-solutions
  2.14  Li-Yau-Hamilton Harnack inequalities and k-solutions
  2.15  Stationary points of Perelman's entropy or reduced volume are gradient shrinking solitons
  2.16  Geometric limits of Ricci flows, and asymptotic gradient shrinking solitons
  2.17  Classification of asymptotic gradient shrinking solitons
  2.18  The structure of k-solutions
  2.19  The structure of high-curvature regions of Ricci flow
  2.20  The structure of Ricci flow at the singular time, surgery, and the Poincare conjecture
Bibliography
Index