导语

  

内容提要

  

    本书是作者在莫斯科大学力学数学系多遍讲授数学分析课程的基础上写成的，自1981年第1版出版以来，到2015年已经修订、增补至第7版。作者加强了分析学、代数学和几何学等现代数学课程之间的联系，重点关注一般数学中最有本质意义的概念和方法，采用适当接近现代数学文献的语言进行叙述，在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，也尽量体现数学在自然科学中的各种应用。
    全书共两卷，第二卷内容包括：连续映射的一般理论、赋范空间中的微分学、重积分、R中的曲面和微分形式、曲线积分与曲面积分、向量分析与场论、微分形式在流形上的积分、级数和含参变量的函数族的一致收敛性和基本运算、含参变量的积分、傅里叶级数与傅里叶变换、渐近展开式。
    与常见的数学分析教材相比，本卷内容相当新颖，系统地引进了现代数学(包括泛函分析、拓扑学和现代微分几何等)的基本概念、思想和方法，用微分形式语言对基本积分公式的叙述特别具有参考价值，有关应用的内容也更加贴近现代自然科学。
    本书观点较高，内容丰富新颖，所选习题极具特色，是教材理论部分的有益补充。本书可作为综合大学和师范大学数学、物理、力学及相关专业的教师和学生的教材或主要参考书，也可供工科大学应用数学专业的教师和学生参考使用。

《俄罗斯数学教材选译》序
中文版序言
再版序言
第1版序言
*第九章  连续映射(一般理论)
  §1．度量空间
    1．定义和实例
    2．度量空间的开子集和闭子集
    3．度量空间的子空间
    4．度量空间的直积
    习题
  §2．拓扑空间
    1．基本定义
    2．拓扑空间的子空间
    3．拓扑空间的直积
    习题
  §3．紧集
    1．紧集的定义和一般性质
    2．度量紧集
    习题
  §4．连通的拓扑空间
    习题
  §5．完备度量空间
    1．基本定义和实例
    2．度量空间的完备化
    习题
  §6．拓扑空间的连续映射
    1．映射的极限
    2．连续映射
    习题
  §7．压缩映射原理
    习题
*第十章  更一般观点下的微分学(一般理论)
  §1．线性赋范空间
    1．数学分析中线性空间的实例
    2．线性空间中的范数
    3．向量空间中的标量积
    习题
  §2．线性算子和多重线性算子
    1．定义和实例
    2．算子的范数
    3．连续算子空间
    习题
  §3．映射的微分
    1．在一点可微的映射
    2．一般的微分法则
    3．某些实例
    4．映射的偏导数
    习题
  §4．有限增量定理及其应用实例
    1．有限增量定理
    2．有限增量定理的应用实例
    习题
  §5．高阶导映射
    1．n阶微分的定义
    2．沿向量的导数和n阶微分的计算
    3．高阶微分的对称性
    4．附注
    习题
  §6．泰勒公式和极值研究
    1．映射的泰勒公式
    2．内部极值研究
    3．实例
    习题
  §7．一般的隐函数定理
    习题
第十一章  重积分
  §1．n维区间上的黎曼积分
    1．积分的定义
    2．黎曼可积函数的勒贝格准则
    3．达布准则
    习题
  §2．集合上的积分
    1．容许集
    2．集合上的积分
    3．容许集的测度(体积)
    习题
  §3．积分的一般性质
    1．积分是线性泛函
    2．积分的可加性
    3．积分的估计
    习题
  §4．重积分化为累次积分
    1．富比尼定理
    2．一些推论
    习题
  §5．重积分中的变量代换
    1．问题的提出和变量代换公式的启发式推导
    2．可测集和光滑映射
    3．一维情况
    4．Rn中最简微分同胚的情况
    5．映射的复合与变量代