导语

  

内容提要

  

    目前《微积分／数学分析》课程的教材已经很多，但基本上都是为数学专业编写的，因而理论的完整性、证明的严格性强调的比较充分；为理工科非数学类专业编写的《微积分》教材则往往更多侧重在计算方面。实际上，对于不少非数学专业的优秀理工科学生而言，微积分计算技能的培养和严谨的数学思维的训练常常是都需要的；另一方面，即便对于数学专业的同学，在展示完整优美的数学理论体系的同时，往往也需要一些如何思考、把握相关内容的来源、基本（粗糙一些）的思路的引导。随着新一代学生在中学教育阶段严谨的逻辑训练的减弱（例如，平面几何的训练比上世纪学生有明显的减退），以及对于学习完整演绎方式构建微积分体系的动力减弱，需要以一种更为直观、生动的方式传授给学生微积分的内在动机、目标和各部分的关系。这样才能吸引他们投入精力到严谨的思维训练过程和计算训练过程。也正是在这样的基础上，我们才能更好地让学生懂得怎样把微积分与后续的专业课程联系起来，从而懂得严谨的逻辑基础上发展出来的科学、以及这样的科学基础上创造的技术。《微积分导引（下）》意在坚持严谨性的同时更多注重引导学生的兴趣，以及抓住核心问题的思路、方法和语言。结合“概念清”和“算得快”这两个基本教学目标，培养学生的兴趣、能力和严谨的思维。本教材的对象主要是理工科学生中更偏“理”的群体，属于A类数学，但又不同于数学专业，并建议配以更加严谨完整的数学类微积分教材作为参考书（如北大出版社张筑生的《数学分析新讲》）；本书反过来也可用作数学专业学生的参考书。

第七章  定积分的进一步讨论
  7.1  定积分存在的一般条件
  7.2  可积函数类与牛顿{莱布尼茨公式再讨论
  7.3  积分中值定理
  7.4  定积分的其他应用选讲
  习题
第八章  广义积分
  8.1  广义积分的定义与计算
  8.2  广义积分的收敛原理与判别法
  习题
第九章  多维空间
  9.1  线性空间、距离空间和赋范空间:Rm的代数结构和几何结构
  9.2  Rm中的收敛点列、函数极限、连续及向量值函数
  9.3  Rm中有界闭集上连续函数的性质
  9.4  紧致性
  9.5  连通性
  习题
第十章  多元微分
  10.1  偏导数和全微分
  10.2  复合函数的偏导数与全微分
  10.3  高阶偏导数
  10.4  有限增量公式与泰勒公式
  10.5  隐函数定理
  10.6  矩阵值函数与向量值函数的微分
  10.7  多元函数的极值
  10.8  微分学的几何应用
  习题
第十一章  多元积分
  11.1  闭方块上的积分
  11.2  可积条件
  11.3  重积分化为累次积分
  11.4  若尔当可测集上的积分
  11.5  换元法求重积分
  11.6  第一型曲线积分
  11.7  第一型曲面积分
  11.8  第二型曲线积分
  11.9  第二型曲面积分
  11.10  格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
  11.11  场论初步
  习题
第十二章  含参变元的积分
  12.1  含参变元的常义积分
  12.2  一致收敛性
  12.3  含参变元广义积分
  12.4  欧拉积分
  习题
第十三章  级数
  13.1  数项级数
  13.2  函数项级数
  13.3  傅里叶级数
  习题