导语

  

内容提要

  

    本书旨在帮助读者看到群、认识群、验证群，从而理解群的实质。本书通过大量的图像和直观解释来介绍群论。
    本书的主要内容有：群是什么、群看起来像什么、为什么学习群、群的代数定义、五个群族、子群、积与商、同态的力量、西罗定理、伽罗瓦理论。每章最后一节为习题，书后附有部分习题答案。
    本书适合抽象代数（近世代数）课程的学生和教师，也适合那些首次接触群论并需要在较短时间内理解群论的读者。

    内森·卡特是美国本特利大学数学副教授。在斯克兰顿大学获得数学与计算机科学学士学位，在印第安纳大学获得数学与计算机科学硕士学位和数学博士学位。1999年获得斯克兰顿大学卓越数学奖，2003年获得印第安纳大学Rothrock教学奖，2007年、2014年、2016年获得本特利大学创新教学奖，2010年获得美国数学协会Henry L.Alder奖，2012年获得美国数学协会Beckenbach图书奖和Trevor Evans奖。内森·卡特是美国数学学会和美国数学协会会员。

致谢
前言
概述
第1章  群是什么
  1.1  一个有名的玩具
  1.2  观察魔方
  1.3  关于对称性的研究
  1.4  群的法则
  1.5  习题
    1.5.1  满足法则的情形
    1.5.2  关于法则的一些结论
    1.5.3  不满足法则的情形
    1.5.4  数字群
第2章  群看起来像什么？
  2.1  绘图
  2.2  一个不那么有名的玩具
  2.3  绘制群图
  2.4  凯莱图
  2.5  初识抽象群
  2.6  习题
    2.6.1  基础知识
    2.6.2  绘图
    2.6.3  回顾
    2.6.4  法则
    2.6.5  图形
第3章  为什么学习群？
  3.1  对称群
    3.1.1  分子的形状
    3.1.2  晶体学
    3.1.3  艺术与建筑
  3.2  作用群
    3.2.1  舞蹈
    3.2.2  多项式的根
  3.3  群无处不在
  3.4  习题
    3.4.1  基础知识
    3.4.2  分子的对称性
    3.4.3  重复模式
    3.4.4  舞蹈
第4章  群的代数定义
  4.1  作用都去哪儿了？
  4.2  组合，组合，组合
  4.3  乘法表
  4.4  经典定义
    4.4.1  结合律
    4.4.2  逆元素
    4.4.3  群的经典定义
    4.4.4  过去，现在，未来
  4.5  习题
    4.5.1  基础知识
    4.5.2  创建乘法表
    4.5.3  伪乘法表
    4.5.4  低阶群
    4.5.5  表的模式
    4.5.6  代数
第5章  五个群族
  5.1  循环群
    5.1.1  旋转体
    5.1.2  乘法表和模加法
    5.1.3  轨道
    5.1.4  循环图
  5.2  阿贝尔群
    5.2.1  凯莱图中的非交换性
    5.2.2  交换乘法表
    5.2.3  错综复杂的循环图
  5.3  二面体群
    5.3.1  翻转与旋转
    5.3.2  Dn的凯莱图
    5.3.3  Dn的乘法表
    5.3.4  第7章的一点预告
    5.3.5  Dn的循环图
  5.4  对称群与交错群
    5.4.1  置换
    5.4.2  置换群
    5.4.3  柏拉图立体
    5.4.4  凯莱定理
    5.4.5  小结
  5.5  习题
    5.5.1  基础知识
    5.5.2  理解群族
    5.5.3  小成员
    5.5.4  提高篇
    5.5.5  拓展篇
    5.5.6  凯莱定理
第6章  子群
  6.1  关于凯莱图，乘法表说了什么？
    6.1.1  完善我们的非正式定义
  6.2  看见子群
  6.3  显露子群
  6.4  陪集
  6.5  拉格朗日定理
  6.6  习题
    6.6.1  基础知识
    6.6.2  理解子群
    6.6.3  哈斯图
    6.6.4  重组可视化图
    6.6.5  寻找例子
第7章  积与商
  7.1  直积
    7.1.1  可视地构造直积
    7.1.2  更多直积的例子
    7.1.3  为什么做直积?
    7.1.4  代数观点
  7.2  半直积
  7.3  正规子群与商
  7.4  正规化子
  7.5  共轭
  7.6  习题
    7.6.1  直积
    7.6.2  半直积
    7.6.3  商
    7.6.4  正规化子
    7.6.5  共轭
第8章  同态的力量
  8.1  嵌入和商映射
    8.1.1  嵌入
    8.1.2  商映射
  8.2  同态基本定理
  8.3  模运算
  8.4  直积与互素
  8.5  阿贝尔群基本定理
  8.6  再访半直积
  8.7  习题
    8.7.1  基础知识
    8.7.2  同态
    8.7.3  嵌入
    8.7.4  商映射
    8.7.5  阿贝尔化
    8.7.6  模运算
    8.7.7  互素
    8.7.8  半直积
    8.7.9  同构
    8.7.10  有限交换群
第9章  西罗定理
  9.1  群作用
  9.2  走向西罗：柯西定理
    9.2.1  6阶群的分类
  9.3  p-群
  9.4  西罗定理
    9.4.1  第一西罗定理：p-子群的存在性
    9.4.2  8阶群的分类
    9.4.3  第二西罗定理：p-子群间的关系
    9.4.4  第三西罗定理：p-子群的个数
    9.4.5  15阶群的分类
  9.5  习题
    9.5.1  基础知识
    9.5.2  群作用和作用图
    9.5.3  论证
    9.5.4  西罗p-子群
    9.5.5  给定阶群的分类
第10章  伽罗瓦理论
  10.1  大问题
  10.2  更多大问题
  10.3  域扩张的可视化
  10.4  不可约多项式
  10.5  伽罗瓦群
    10.5.1  一个小的域扩张：□（公式）
    10.5.2  □（公式）的对称性
    10.5.3  域扩张的对称性
    10.5.4  □（公式）的对称性
    10.5.5  □（公式）的对称性
  10.6  伽罗瓦理论的核心
  10.7  不可解
    10.7.1  一个不可解群
    10.7.2  一个不可解多项式
    10.7.3  结论
  10.8  习题
    10.8.1  基础知识
    10.8.2  域和扩张
    10.8.3  多项式和可解性
    10.8.4  有限域
部分习题答案
符号索引
参考文献