导语

  

    阿贝尔在大约十九岁时提出了“阿贝尔不可能性定理”，使得“一般五次方程的根式求解”这一困扰数学大师们长达近三个世纪的数学难题以“不可能用根式求解”之“不可能性”划上了句号。这是代数史上的一座里程碑。
    本书试图在高中数学的基础上，把初等数论、高等代数中的一些重要概念与理论串在一起详加论述。从“多项式方程的求解与数系的扩张”、“整数的一些基本概念、定理与理论”、“数域、扩域与代数扩域的一些基本理论”、“多项式的一些基本概念、定理与理论”、“阿贝尔引理、阿贝尔不可约定理以及一些重要的扩域”、“多项式方程的根式求解、克罗内克定理与鲁菲尼一阿贝尔定理”六方面逐步展开，尽可能地用通俗易懂的“细说”方式阐明这一具有划时代意义的“不可能性定理”的种种方面。
    本书可供高中学生、理工科大学生、大中学校数学教师以及广大的数学爱好者在学习与讲解多项式方程、阿贝尔定理以及初等数论与高等代数基础时阅读、参考。

内容提要

  

    本书分六个部分，共十六章，是阐述一般五次多项式方程无根式求解的阿贝尔定理的一本入门读物。
    在第一部分中，从多项式方程的求解和数系的扩张谈起，详述了一次、二次、三次以及四次方程的根式求解。在第二、第三以及第四部分中，论述了关于整数、数域以及数系上多项式的一些概念和理论，其中包括了有重要应用的算术基本定理、欧几里得算法、贝祖等式、艾森斯坦不可约判据、多项式的可除定理与唯一因式分解定理、实系数多项式实数根的根数的斯图姆定理以及对称多项式基本定理等等。在第五部分中，证明了阿贝尔引理、阿贝尔不可约定理，也讨论了一些重要的扩域：，z型纯扩域以及复共轭封闭域。在最后的第六部分中，阐明了多项式方程根式求解的含义及其数学表达，论证了克罗内克定理，并最终严格证明了“阿贝尔不可能性定理”。
    本书还有四个附录，它们分别是：关于代数基本定理的定性说明、复数的表示及运算、韦达(Franeois Vieta，1540—1603)用三角函数解简化的三次方程的方法，以及斯图姆定理的证明。
    全书起点低，叙述详尽，论证严格，例子丰富，前后呼应，是一本深入浅出，可供数学爱好者学习新知识和方法，扩展视野，同时又能得到美的享受的可读性较强的读物。

第一部分  多项式方程的求解与数系的扩张
  第一章  多项式方程的求解和数系的扩张
    §1.1  从自然数到有理数
    §1.2  实数和复数
    §1.3  代数基本定理
    §1.4  1的n次方根
    §1.5  纯方程的解
    §1.6  复数系的运算性质和法则
  第二章  二次、三次、四次方程的求解
    §2.1  n次方程的简化
    §2.2  二次方程的求解
    §2.3  三次方程的求解
    §2.4  卡尔达诺公式与复数
    §2.5  四次方程的求解
    §2.6  一般五次方程有公式解吗
第二部分  整数的一些基本概念、定理与理论
  第三章  算术基本定理
    §3.1  正整数的可除定理
    §3.2  素数和合数
    §3.3  算术基本定理
  第四章  欧几里得算法
    §4.1  最大公因子
    §4.2  欧几里得算法
    §4.3  贝祖等式
第三部分  数域、扩域与代数扩域的一些基本理论
  第五章  数域的概念
    §5.1  数域的定义
    §5.2  子域和扩域
  第六章  代数添加和扩域
    §6.1  添加与扩域
    §6.2  代数添加时的扩域结构
    §6.3  添加2个代数元的情况
第四部分  多项式的一些基本概念、定理与理论
  第七章  可约和不可约多项式
    §7.1  数系上的多项式
    §7.2  多项式的可约和不可约
    §7.3  z上和Q上的多项式的可约性问题
    §7.4  高斯引理
    §7.5  艾森斯坦不可约判据
  第八章  多项式的整除理论
    §8.1  多项式的整除性
    §8.2  多项式的可除定理
    §8.3  剩余定理
  第九章  多项式的最大公因式
    §9.1  公因式和最大公因式
    §9.2  多项式的欧几里得算法
    §9.3  多项式的贝祖等式
    §9.4  多项式的互素
    §9.5  多项式的唯一因式分解定理
  第十章  多项式的导数和多项式的根
    §10.1  函数的变化率和导数
    §10.2  形式导数
    §10.3  多项式的根
    §10.4  重根问题
    §10.5  根与系数的关系
  第十一章  实系数多项式的根
    §11.1  实系数多项式的实根和复根
    §11.2  实数序列的变号次数
    §11.3  没有重根的实系数多项式的斯图姆组
    §11.4  斯图姆定理
  第十二章  多元多项式
    §12.1  多元多项式和字典式排列法
    §12.2  对称多项式和初等对称多项式
    §12.3  对称多项式基本定理
第五部分  阿贝尔引理、阿贝尔不可约定理以及一些重要的扩域
  第十三章  阿贝尔引理与阿贝尔不可约定理
    §13.1  X2-c∈N*[x]在N*上可约吗
    §13.2  Xn-c在N*上的可约性问题
    §13.3  阿贝尔引理
    §13.4  不可约多项式的基本定理——阿贝尔不可约性定理
  第十四章  单代数扩域的结构。纯扩域和复共轭封闭域
    §14.1  不可约多项式的根给出的单代数扩域
    §14.2  单代数扩域的结构定理
    §14.3  n型纯扩域
    §14.4  复共轭封闭域
第六部分  多项式方程的根式求解、克罗内克定理与鲁菲尼一阿贝尔定理
  第十五章  关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的两个定理
    §15.1  关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的第一个定理
    §15.2  关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的第二个定理
  第十六章  多项式方程的根式求解
    §16.1  多项式方程根式可解的含意
    §16.2  多项式方程根式可解的精确定义和对讨论情况的一些简化
    §16.3  f(x)根式扩链的加细
    §16.4  f(x)达到可约的两种情况
    §16.5  证明“阿贝尔不可能性定理”的思路
    §16.6  f(x)可约给出的一些结果
    §16.7  多项式ψ(x，λv)的两个性质
    §16.8  f(x)在Em上分解为线性因式的乘积
    §16.9  f(x)的根在Em中的表示
    §16.10  对情况A的讨论
    §16.11  对情况B的讨论
    §16.12  克罗内克定理和鲁菲尼一阿贝尔定理
    §16.13  尾声
附录
  附录1  关于代数基本定理的定性说明
  附录2  复数的表示及运算
  附录3  韦达用三角函数解简化的三次方程的方法
  附录4  斯图姆定理的证明
参考文献
后记