导语

  

内容提要

  

    本书以新课标高中数学教学大纲为依据，根据高中学生学习数学实际情况，高屋建瓴，归纳总结高中阶段数学的基本知识及拓展内容，在总结过程中，将数学竞赛知识与高考数学知识有机结合，重视数学思想的渗透，另收集整理了近五年的优秀高考及竞赛数学原题，分类别进行详尽阐述分析，开拓学生的数学视野，提高学生的数学素质，培养学生的数学能力。本书已经过10次再版，广受全国师生好评。本版增加了新教学大纲所强调的内容及最近几年数学高考的新动向，有利于学生充分领会高中数学学习的内涵和精髓。

    蔡小雄，现任教于杭州二中，浙江省首批正高级教师，首批专业技术二级岗正高，中学数学特级教师，中国数学奥林匹克高级教练，曾获全国优秀教育工作者、苏步青数学教育奖、全国首届高中数学优质课一等奖、杭州市首届杰出教育工作者、市政府特殊津贴专家、市“131第一层次人才”等荣誉。
    在杭州二中等省内重点中学任教近三十年，带过十届毕业班，任教过的学生中有省高考第1名一位，第2名两位，被清华、北大录取的上百位。担任过十余年竞赛教练，一届全国联赛浙江省领队，担任三届杭二中竞赛主教练期间所带团队均获省团体总分前三名，所辅导的学生中有25人获全国联赛一等奖，8人获中国数学奥林匹克（CMO）金、银、铜牌。连续担任三年班主任的班级50％的学生被北大、清华录取。在《人民教育》《数学通报》等核心期刊发表论文四十余篇，著有《更高更妙的高中数学思想与方法》，再版十余次、畅销大江南北。

第一章  更高更妙的高中数学解题策略
  1.1  夯实基础知识，争取“拾级而上”
  1.2  防止思维定式，实现“移花接木”
  1.3  灵活运用策略，尝试“借石攻玉”
    1.3.1  归纳猜想
    1.3.2  类比迁移
    1.3.3  进退互化
    1.3.4  整体处理
    1.3.5  正难则反
  1.4  关注临界问题，掌握“秘密武器”
    1.4.1  临界法则
    1.4.2  临界问题
    1.4.3  临界方法
  1.5  完善思维过程，达到“水到渠成”
    1.5.1  关注解题过程
    1.5.2  了解特殊策略
  1.6  加强问题研究，做到“把根留住”
    1.6.1  研究问题的变式，留住知识之“根”
    1.6.2  优化问题的解法，留住方法之“根”
    1.6.3  拓展问题的应用，留住价值之“根”
    1.6.4  揭示问题的背景，留住本质之“根”
第二章  高：善于用四大数学思想武装自己
  2.1  函数与方程思想
    2.1.1  显化函数关系
    2.1.2  转换函数关系
    2.1.3  构造函数关系
    2.1.4  转换方程形式
    2.1.5  构造方程形式
    2.1.6  联用函数与方程思想
  2.2  分类讨论思想
    2.2.1  分类讨论的原则与方法
    2.2.2  简化或避免分类讨论的途径
  2.3  数形结合思想
    2.3.1  数形结合的主要应用
    2.3.2  数形结合是把“双刃剑”
  2.4  化归与转化思想
    2.4.1  变量与变量的转化
    2.4.2  高维与低维的转化
    2.4.3  特殊与一般的转化
    2.4.4  局部与整体的转化
    2.4.5  化归与转化的综合运用
  2.5  综合运用数学思想解题
  好题新题精选(一)
第三章  妙：妙用竞赛方法优化高考题解法
  3.1  熟悉递推方法
    3.1.1  累加累乘法
    3.1.2  待定系数法
    3.1.3  不动点法
    3.1.4  阶差法
    3.1.5  直接代换法
    3.1.6  变形转化法
    3.1.7  数学归纳法
    3.1.8  裂项分解法
  3.2  了解放缩技巧
    3.2.1  直接放缩
    3.2.2  裂项放缩
    3.2.3  并项放缩
    3.2.4  加强放缩
    3.2.5  借助导数放缩
  3.3  掌握重要不等式
    3.3.1  均值不等式
    3.3.2  柯西不等式
  3.4  引入参数或参数方程
    3.4.1  引参换元
    3.4.2  分离参数
    3.4.3  参数方程
    好题新题精选(二)
  3.5  借助平面几何知识妙解解析几何题
    3.5.1  利用三角形性质
    3.5.2  利用角平分线性质
    3.5.3  利用平行线段成比例的性质
    3.5.4  利用圆的性质
  3.6  运用曲线系方程
    3.6.1  一次曲线系方程
    3.6.2  二次曲线系方程
    3.6.3  一般型过交点(定点)曲线系方程
  3.7  利用恒等式解向量题
    3.7.1  极化恒等式
    3.7.2  分点恒等式
    3.7.3  向量中值定理
    3.7.4  向量数乘余弦定理
    3.7.5  对角线向量定理
    3.7.6  对棱角公式
    好题新题精选(三)
  3.8  构造函数巧解题
  3.9  解最值函数问题的重要定理
    3.9.1  最值函数基本定理
   *3.9.2  切比雪夫最佳逼近定理
    好题新题精选(四)
  3.10  阿波罗尼斯圆的应用
    好题新题精选(五)
  *3.11  泰勒展开式的应用
  *3.12  伸缩变换妙解一类高考题
    好题新题精选(六)
第四章  更高更妙的高考压轴题突破技巧
  4.1  函数综合问题
    4.1.1  二次函数综合
    4.1.2  高次函数综合
    4.1.3  分式函数综合
    4.1.4  抽象函数综合
    好题新题精选(七)
  4.2  导数综合问题
    4.2.1  三次或四次型
    4.2.2  指数与一次或二次联袂型
    4.2.3  对数与一次或二次联袂型
    4.2.4  导数综合
    好题新题精选(八)
  4.3  数列综合问题
    4.3.1  数列性质综合
    4.3.2  函数与数列
    4.3.3  数列不等式
      4.3.3.1  递推等式型
      4.3.3.2  递推不等式型
    4.3.4  点列问题
    好题新题精选(九)
  4.4  解析几何综合问题
    4.4.1  弦长问题
    4.4.2  范围(最值)问题
    4.4.3  定值(点)问题
    4.4.4  轨迹问题
    4.4.5  探究性问题
    好题新题精选(十)
  4.5  新颖性问题
    好题新题精选(十一)
第五章  更高更妙的高中数学知识与公式大全
  5.1  必修部分
  5.2  选修部分
  5.3  高妙图表
参考文献