导语

  

内容提要

  

    经典数论的主要内容既包括整数理论、同余理论、一次到n次剩余方程、丢番图方程、佩尔方程、连分数、原根与指数，也包括费尔马欧拉定理、威尔逊高斯定理、秦九韶定理（中国剩余定理、勒让德符号与二次互反律、表整数为平方和、荷斯泰荷姆定理等。此外，它还伴随着遐迩闻名的完美数问题、同余数问题、费尔马大定理、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想、欧拉猜想、卡塔兰猜想、华林问题、3x＋1问题、BSD猜想、abc猜想等。本书以一种特殊的方式（每节配以引人入胜的补充读物）把这些素材联起来，再通过引入加乘方程、形素数、平方完美数、默比乌斯函数指数、椭圆曲线等新概念和方法，拓广了包括希尔伯特第8问题在内的经典数论问题和猜想。与此同时，几乎每个章节都提出或留有深浅不一的新问题和新猜想。且在第1-5章每章习题后以二维码形式链接了该章习题参考解答，供读者查阅。
    本书既适合数论专业的研究者和业余数学爱好者阅读，也适合用作高等院校本科生、研究生的基础数论课程教材或参考书。

    蔡天新，浙江台州人，山东大学理学博士，浙江大学数学学院教授、博士生导师、求是特聘学者，专攻数论。他提出了形素数和加乘方程的概念，后者被德国数学家普莱达·米哈伊列斯库赞为“阴阳方程”，而有关华林问题的研究被英国数学家、菲尔兹奖得主阿兰·贝克赞为“真正原创性的贡献”。
    读研期间，缪斯的偶然光顾催发了他的诗情，至今已出版文学、学术和普及著作30多部，作品被译成20多种语言，并已出版外版著作20多种。其中《数学传奇——那些难以企及的人物》获国家科学技术进步奖，《数学简史》获吴大猷原创科普著作佳作奖，“科学与人类文明”课程获国家教学成果奖。

序：数是我们心灵的产物
第1章  整除的算法
  1.1  自然数的来历
    完美数与亲和数
  1.2  自然数的奥妙
    镶嵌几何与欧拉示性数
  1.3  整除的算法
    梅森素数与费尔马素数
  1.4  最大公因数
    格雷厄姆猜想
  1.5  算术基本定理
    希尔伯特第8问题
  习题
第2章  同余的概念
  2.1  同余的概念
    高斯的《算术研究》
  2.2  剩余类和剩余系
    函数[x]与3x+1问题
  2.3  费尔马-欧拉定理
    欧拉数和欧拉素数
  2.4  表分数为循环小数
    默比乌斯函数
  2.5  密码学中的应用
    广义欧拉函数
  习题
第3章  同余式理论
  3.1  秦九韶定理
    斐波那契的兔子
  3.2  威尔逊定理
    高斯的《算术研究》
  3.3  丢番图方程
    毕达哥拉斯数组
  3.4  卢卡斯同余式
    覆盖同余系
  3.5  素数的真伪
    素数或合数之链
  习题
第4章  平方剩余
  4.1  二次同余式
    高斯环上的整数
  4.2  勒让德符号
    表整数为平方和
  4.3  二次互反律
    n角形数与费尔马
  4.4  雅可比符号
    阿达马矩阵和猜想
  4.5  合数模同余
    正十七边形作图法
  习题
第5章  n次剩余
  5.1  指数的定义
    埃及分数
  5.2  原根的存在性
    阿廷猜想
  5.3  n次剩余
    佩尔方程
  5.4  合数模的情形
    丢番图数组
  5.5  狄利克雷特征
    三类特殊指数和
  习题
第6章  整数幂模同余
  6.1  贝努利数和多项式
    库默尔同余式
  6.2  荷斯泰荷姆定理
    椭圆曲线
  6.3  拉赫曼同余式
    abc猜想
  6.4  莫利定理和雅克布斯坦定理
    自守形式和模形式
  6.5  一类调和和同余式
    多项式系数非幂
第7章  加乘数论
  7.1  新华林问题
  7.2  新费尔马定理
  7.3  欧拉猜想
  7.4  F完美数问题
  7.5  新同余数问题
  7.6  abcd方程
参考文献
附录  10000以内素数表