导语

  

内容提要

  

    本书的主要内容包括线性空间、线性子空间和内积空间的基本概念、性质和分解；线性变换的概念、性质以及与矩阵的关系；方阵的Jordan标准形和方阵的最小多项式；矩阵的满秩分解、单纯矩阵的谱分解、正规矩阵的概念和性质以及谱分解、方阵的三角分解、矩阵的奇异值分解；向量范数的概念、矩阵序列与矩阵级数、函数矩阵的导数和积分、常系数线性微分方程组和非负矩阵以及矩阵理论的应用。
    本书是为上海交通大学非数学类研究生准备的通用教材，也可作为高等学校理工科高年级本科生以及从事教学、科研等人员的参考用书。

第1章  线性空间
  1.1  线性空间的概念
    1.1.1  线性空间的定义
    1.1.2  线性空间的简单性质
    1.1.3  线性空间的基底、维数与向量的坐标
    1.1.4  基变换与坐标变换
  1.2  线性子空间
    1.2.1  线性子空间的概念
    1.2.2  矩阵A的列空间、零空间、行空间和左零化空间
    1.2.3  线性子空间的交与和
  1.3  线性空间的分解
    1.3.1  线性子空间的直和
    1.3.2  线性子空间的补空间
    1.3.3  向量在子空间上的投影
  1.4  内积空间
    1.4.1  内积空间的定义与基本性质
    1.4.2  标准正交基和酉矩阵
    1.4.3  Hermitian矩阵
    1.4.4  正定矩阵
    1.4.5  内积与正定矩阵
  1.5  内积空间的正交分解
    1.5.1  内积空间子空间的正交补
    1.5.2  向量在内积空间子空间上的正交投影
    1.5.3  Schmidt正交化方法和矩阵的QR分解
    1.5.4  向量的最佳近似
补充题
第2章  线性变换
  2.1  线性变换
    2.1.1  线性变换的概念
    2.1.2  线性变换的性质
  2.2  线性变换与矩阵
    2.2.1  线性变换在给定基下的矩阵
    2.2.2  线性变换的值域与核
    2.2.3  线性变换与等价矩阵
    2.2.4  线性变换与相似矩阵
  2.3  线性变换的运算
    2.3.1  同构变换和线性空间的分类
    2.3.2  线性变换的加法和纯量乘法
    2.3.3  线性变换的积
    2.3.4  线性变换的幂
补充题
第3章  从矩阵到线性变换
  3.1  常见矩阵与线性变换
    3.1.1  可逆矩阵与可逆变换
    3.1.2  幂零矩阵与幂零变换
    3.1.3  幂等矩阵、幂等变换与投影变换
  3.2  内积空间上的线性变换
    3.2.1  Hermitian矩阵与Hermitian变换
    3.2.2  幂等Hermitian矩阵与正交投影变换
    3.2.3  酉矩阵与保矩变换
  3.3  矩阵转置与线性变换的对偶
    3.3.1  对偶变换
    3.3.2  转置矩阵与对偶变换
  3.4  分块对角矩阵与线性变换的不变子空间
    3.4.1  不变子空间的概念
    3.4.2  分块对角矩阵与不变子空间的直和
补充题
第4章  方阵的Jordan标准形和最小多项式
  4.1  方阵的Jordan标准形
    4.1.1  哈密顿-凯莱定理
    4.1.2  方阵相似于分块对角矩阵——广义特征子空间
    4.1.3  方阵相似于分块对角上三角阵
    4.1.4  幂零矩阵的Jordan标准形——循环子空间
    4.1.5  方阵的Jordan标准形
  4.2  最小多项式
    4.2.1  方阵的零化多项式
    4.2.2  方阵的最小多项式
  4.3  方阵Jordan标准形的计算
补充题
第5章  矩阵分解
  5.1  矩阵的满秩分解
    5.1.1  矩阵的满秩分解的定义
    5.1.2  矩阵满秩分解的求法
    5.1.3  矩阵满秩分解的两个应用
  5.2  矩阵的谱分解
    5.2.1  单纯矩阵的谱分解
    5.2.2  正规矩阵
    5.2.3  正规矩阵的谱分解
  5.3  矩阵的三角分解
  5.4  矩阵的奇异值分解
    5.4.1  矩阵的奇异值分解定理
    5.4.2  矩阵奇异值分解的计算方法
    5.4.3  方阵的极分解
    5.4.4  广义逆矩阵
补充题
第6章  函数矩阵
  6.1  向量范数
    6.1.1  向量范数的概念
    6.1.2  向量范数的分类
    6.1.3  \(F^{n×n}\)上的矩阵范数
  6.2  特征值的估计
    6.2.1  谱半径与矩阵范数
    6.2.2  盖尔圆盘
    6.2.3  对角相似变换
  6.3  矩阵序列与矩阵级数
    6.3.1  向量序列的收敛
    6.3.2  矩阵序列和矩阵序列的收敛
    6.3.3  矩阵的幂收敛
    6.3.4  矩阵幂级数
  6.4  函数矩阵的导数和积分
    6.4.1  函数矩阵在\(t = t_0\)处的极限
    6.4.2  函数矩阵的导数和积分
    6.4.3  常用函数矩阵
  6.5  常系数线性微分方程组
    6.5.1  常系数齐次线性微分方程组
    6.5.2  常系数非齐次线性微分方程组
    6.5.3  高阶常系数齐次线性微分方程
    6.5.4  高阶常系数非齐次线性微分方程
  6.6  非负矩阵
    6.6.1  正矩阵
    6.6.2  不可约非负矩阵
    6.6.3  随机矩阵
    6.6.4  M-矩阵
补充题
第7章  矩阵理论的应用
  7.1  线性方程组的应用
    7.1.1  里昂惕夫投入-产出模型
    7.1.2  配平化学方程式
    7.1.3  网络流
  7.2  谱分解和Jordan标准形的应用——常系数线性递推关系
  7.3  非负矩阵的应用——马尔可夫链
  7.4  奇异值分解的应用——图像压缩
  7.5  函数矩阵的应用
    7.5.1  定常线性系统的可控性问题
    7.5.2  定常线性系统的可观测性问题
参考文献
名词索引