导语

  

内容提要

  

    本书共10讲。数学概览，旨在传达对数学的内容、思想方法、应用等的一个整体性正确认知，以结构数学与公理化两条主线，阐述数学理论的形成和发展。从数形结合的解析几何出发探讨天文与历法及开普勒归纳出的行星运动三定律。追溯17世纪牛顿发明的微积分，以开普勒的行星运动三定律推导出万有引力定律，再从万有引力定律推导开普勒行星运动三定律。用数学的视角探讨物理学中展现的宇宙规律的和谐与美，包括对称性与守恒律之间的关系，联系电与磁的麦克斯韦方程组及现代物理学的创新性革命—20世纪初爱因斯坦创立的相对论。
    作为通识教育课程教材，突出基本数理思想的阐释，淡化繁琐的计算推导，力求简洁清晰。选材集中于数学、天文和物理，也涉及哲学社会科学知识，但内容相对浅显易懂。本书可作为高等学校“科学与创新”板块通识课教材，也可供相关人员学习参考。考虑到教学学时限制，教师可根据需要灵活选择内容和组织教学。

第1讲  发掘宇宙规律的科学语言一—数学
  第1节  何谓数学—宇宙的语言
    1.1  宇宙奥秘的描述
    1.2  数学的定义、特点、内容及发展演变
    1.3  无处不在的数学语言
  第2节  常用的数学思想和方法简介
    2.1  演绎法
    2.2  类比法
    2.3  归纳法与数学归纳法
    2.4  数学构造法
    2.5  化归法
    2.6  数学模型方法
  第3节  数学的新进展之分形与混沌
    3.1  挑战欧氏几何的奇妙分形
    3.2  混沌中的模式
    3.3  分形与混沌的应用与哲学思考
    推荐主要阅读资料
    小组讨论题1
    作业1
第2讲  从自然数谈起—数的起源与理性发展
  第1节  数的起源与发展—从自然数到哈密顿四元数
    1.1  计数系统
    1.2  从算术开始—不断追踪更全面、更完美的数字过程
    1.3  哈密顿四元数——三维复数的寻找
  第2节  理性发展之一——从四元数到群、环、域
    2.1  群的概念及例子
    2.2  环的概念
    2.3  域的概念
  第3节  理性发展之二—从有限到无穷
    3.1  可数集的势
    3.2  不可数集的势
    3.3  超穷数理论与连续统假设
    推荐主要阅读资料2
    小组讨论题2
    作业题2
第3讲  从《几何原本》谈起——公理化的数学
  第1节  欧几里得的《几何原本》
    1.1  《几何原本》中的定义、公理和公设
    1.2  《几何原本》中的方法及不足
    1.3  《几何原本》中的例题举例
  第2节  深远影响之一：第五公设与非欧几何
    2.1第五公设
    2.2  非欧几何及其现实意义
  第3节  深远影响之二：公理化方法
    3.1  公理化方法发展的三阶段
    3.2  公理化方法之意义及应用范例
    3.3  罗素悖论与ZF公理系统
    推荐主要阅读资料3
    小组讨论题3
    作业题3
第4讲  数形结合的典范一解析几何
  第1节  向量与坐标
    1.1  几何与代数间的桥梁—向量
    1.2  向量的线性表示
    1.3  向量的编码——坐标
    1.4  坐标下的向量运算
  第2节  方程与变换
    2.1  几何对象的方程—一以圆锥曲线为例
    2.2  坐标变换
    2.3  几何变换
    推荐主要阅读资料4
    小组讨论题4
    作业题4
第5讲  日月星辰的低语—古代天文学中的数学
  第1节  观星前的准备
    1.1  星空中的角
    1.2  解密星空的第一把钥匙—角的函数
  第2节  观星开始
    2.1  地球的一天与一年
    2.2  天球上的坐标
    2.3  行星逆行与地心说
  第3节  观星有成
    3.1  从地心说到日心说
    3.2  火星的轨迹与三大定律
    推荐主要阅读资料5
    小组讨论题5
    作业题5
第6讲  站在巨人的肩膀上—开普勒行星运动三定律与
    万有引力定律
  第1节  微积分概览——数学刻画自然的威力
    1.1  函数、极限——微积分的研究对象及工具
    1.2  微分学和积分学—微积分的两大支柱
    1.3  微分学与积分学的统一—微积分基本定理
  第2节  开普勒行星运动三定律推导万有引力定律
    2.1  牛顿对面积律（开普勒第二定律)的分析
    2.2  从开普勒行星运动定律到万有引力定律
  第3节  万有引力定律推导开普勒行星运动三定律
    3.1  由万有引力定律推导面积律
    3.2  由万有引力定律推导椭圆律
    3.3  由万有引力定律推导周期律
    推荐主要阅读资料6
    小组讨论题6
    作业题6
第7讲  数学与物理的奇妙融合—对称与守恒
  第1节  对称性与守恒律
    1.1  对称与群
    1.2  对称性与守恒律
    1.3  自发对称破缺
  第2节  最小作用量原理
    2.1  拉格朗日函数
    2.2  最小作用量原理
    2.3  力学系统
    2.4  诺特定理的简单证明
  第3节  三大守恒定律
    3.1  时间平移对称性与能量守恒定律
    3.2  空间平移对称性与动量守恒定律
    3.3  空间旋转对称性与角动量守恒定律
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    小组讨论题7
    作业题7
第8讲  电与磁的华美篇章  一麦克斯韦方程组
  第1节  电、磁、光简史与场论初步
    1.1  电、磁、光简史
    1.2  场论初步
  第2节  麦克斯韦方程组
    2.1  库仑定律
    2.2  毕奥-萨代尔定律
    2.3  法拉第电磁感应定律
    2.4  引入位移电流密度
  第3节  电磁波方程
    3.1  电磁波方程
    3.2  光速
    3.3  遗留的难题
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    小组讨论题8
    作业题8
第9讲  狭义相对论的数学语言—闵可夫斯基时空
  第1节  迈克尔逊-莫雷实验与狭义相对论基本假设
    1.1  经典时空观与迈克尔逊-莫雷实验
    1.2  狭义相对论基本原理
  第2节  洛伦兹变换与闵科夫斯基时空
    2.1  洛仑兹变换的物理学推导
    2.2  闵科夫斯基时空
    2.3  洛仓兹变换的几何推导
  第3节  狭义相对论效应
    3.1  动尺缩短
    3.2  动钟变慢
    3.3  质量膨胀与相对论动量定理
    3.4  质能方程
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    小组讨论题9
    作业题9
第10讲  广义相对论的一把钥匙—黎曼几何
  第1节  广义相对论基本假设与引力的本质
    1.1  广义相对论基本假设
    1.2  引力的本质
  第2节  黎曼几何与爱因斯坦场方程
    2.1  黎曼几何
    2.2  爱因斯坦场方程
  第3节  广义相对论的应用
    3.1  三大实验验证
    3.2  史瓦西解
    3.3  引力波
    推荐主要阅读资料10
    小组讨论题10
    作业题10