导语

  

内容提要

  

    《代数几何学原理（Ⅰ概形语言）（精）》由格罗滕迪克著。
    《代数几何学原理》（EGA）是代数几何的经典著作，由法国著名数学家Alexander Grothendieck（1928—2014）在J. Dieudonné的协助下于20世纪50—60年代写成。在此书中，Grothendieck首次在代数几何中引入了概形的概念，并系统地展开了概形的基础理论。EGA的出现具有划时代的意义，对现代数学产生了多方面的深远影响。
    首先，EGA为代数几何建立了极其广阔、完整和严格的公理化概念体系和表述方式（现已成为代数几何的标准语言），极大地整合了这一数学分支的古典理论，并为后来的发展奠定了坚实的基础。其次，EGA把数论和代数几何统一在一个理论框架之内，促成了平展上同调等理论的建立，进而导致了著名的Weil猜想的证明的完成（由Grothendieck的学生Deligne所完成,并因此获得Fields奖）。当前数论和代数几何中的许多重大进展都在很大程度上归功于EGA所建立的思想方法，比如Mordell猜想的解决（Faltings获Fields奖的工作）、motivic上同调理论（Voevodsky获Fields奖的工作）、椭圆曲线Taniyama-Shimura猜想的解决（Wiles据此证明了Fermat大定理）、函数域上的Langlands对应的证明（Lafforgue获Fields奖的工作），等等。此外，EGA的出现还促进了交换代数、同调代数、解析空间理论、代数K理论等多个数学分支的发展。
    时至今日，EGA仍然是所有介绍概形理论的书籍之中极全面和极有系统的著作，是数论和算术代数几何等方向的学生和研究人员的重要参考书。

第零章  预备知识
  §1.分式环
    1.0  环和代数
    1.1  理想的根、环的诣零根和根
    1.2  分式环和分式模
    1.3  函子性质
    1.4  改变乘性子集
    1.5  改变环
    1.6  把Mf等同于一个归纳极限
    1.7  模的支集
  §2.不可约空间，Noether空间
    2.1  不可约空间
    2.2  Noether空间
  §3.关于层的补充
    3.1  取值在范畴中的层
    3.2  定义在拓扑基上的预层
    3.3  层的黏合
    3.4  预层的顺像
    3.5  预层的逆像
    3.6  常值层和局部常值层
    3.7  群预层和环预层的逆像
    3.8  伪离散空间层
  §4.环积空间
    4.1  环积空间、A模层、A代数层
    4.2  A模层的顺像
    4.3  R模层的逆像
    4.4  顺像和逆像的关系
  §5.拟凝聚层和凝聚层
    5.1  拟凝聚层
    5.2  有限型层
    5.3  凝聚层
    5.4  局部自由层
    5.5  局部环积空间上的层
  §6.平坦性条件
    6.1  平坦模
    6.2  改变环
    6.3  平坦性条件的局部化
    6.4  忠实平坦模
    6.5  纯量限制
    6.6  忠实平坦环
    6.7  环积空间的平坦态射
  §7.进制环
    7.1  可容环
    7.2  进制环和投影极限
    7.3  Noether进制环
    7.4  局部环上的拟有限模
    7.5  设限形式幂级数环
    7.6  完备分式环
    7.7  完备张量积
    7.8  同态模上的拓扑
第一章  概形语言
  §1.仿射概形
    1.1  环的素谱
    1.2  素谱的函子性质
    1.3  模的伴生层
    1.4  素谱上的拟凝聚层
    1.5  素谱上的凝聚层
    1.6  素谱上的拟凝聚层的函子性质
    1.7  仿射概形之间的态射的特征性质
    1.8  追加—局部环积空间到仿射概形的态射
  §2.概形及概形态射
    2.1  概形的定义
    2.2  概形态射
    2.3  概形的黏合
    2.4  局部概形
    2.5  概形上的概形
  §3.概形的纤维积
    3.1  概形的和
    3.2  概形的纤维积
    3.3  纤维积的基本性质；改变基概形
    3.4  概形的取值在概形中的点；几何点
    3.5  映满和含容
    3.6  纤维
    3.7  应用：概形的模了约化
  §4.子概形和浸入态射
    4.1  子概形
    4.2  浸入态射
    4.3  浸入的纤维积
    4.4  子概形的逆像
    4.5  局部浸入和局部同构
  §5.既约概形；分离条件
    5.1  既约概形
    5.2  指定底空间的子概形的存在性
    5.3  对角线；态射的图像
    5.4  分离态射和分离概形
    5.5  分离性的判别法
  §6.有限性条件
    6.1  Noether概形和局部Noether概形
    6.2  Artin概形
    6.3  有限型态射
    6.4  代数概形
    6.5  态射的局部可确定性
    6.6  拟紧态射和局部有限型态射
  §7.有理映射
    7.1  有理映射和有理函数
    7.2  有理映射的定义域
    7.3  有理函数层
    7.4  挠层和无挠层
  §8.Chevalley概形
    8.1  同源的局部环
    8.2  整概形的局部环
    8.3  Chevalley概形
  §9.拟凝聚层的补充
    9.1  拟凝聚层的张量积
    9.2  拟凝聚层的顺像
    9.3  对拟凝聚层的截面进行延拓
    9.4  拟凝聚层的延拓
    9.5  概形的概像；子概形的概闭包
    9.6  拟凝聚代数层；改变结构层
  §10.形式概形
    10.1  仿射形式概形
    10.2  仿射形式概形的态射
    10.3  仿射形式概形的定义理想层
    10.4  形式概形和态射
    10.5  形式概形的定义理想层
    10.6  形式概形作为通常概形的归纳极限
    10.7  形式概形的纤维积
    10.8  概形沿着一个闭子集的形式完备化
    10.9  把态射延拓到完备化上
    10.10  应用到仿射形式概形上的凝聚层上
    10.11  形式概形上的凝聚层
    10.12  形式概形间的进制态射
    10.13  有限型态射
    10.14  形式概形的闭子概形
    10.15  分离的形式概形
参考文献
索引